1. 클릭하면 정답 이상 뭔가 얻어갑니다.
한줄요약: 지수 비교와 로그의 활용
| 시간 | 요약 |
|---|---|
| 00:00 | 8과 9의 비교에서 오른쪽이 더 크다는 사실이 강조됨. 33의 제곱과 22제곱을 비교할 때, 22제곱이 훨씬 크다는 점이 설명됨. 일반적으로 지수가 큰 수가 더 크다는 원칙이 적용됨. |
| 01:06 | x와 y의 지수 비교에서 x가 큰 경우 y의 x제곱이 더 크다는 원리가 설명됨. 파이썬을 활용한 코딩 예시가 제시되며, 색깔 값으로 크기를 비교하는 방법이 소개됨. |
| 03:00 | x^y와 y^x의 비율을 로그로 취한 값이 1보다 작을 때의 조건이 설명됨. 초록색 영역에서 x의 y제곱이 더 크다는 의미가 강조됨. |
| 04:00 | 지수의 크기 비교에서 x와 y의 값이 같아지는 교점이 y = x라는 점이 언급됨. 이 교점에서의 좌표가 2와 3 사이에 위치함을 설명함. |
| 04:31 | y를 ax로 가정했을 때의 수학적 변형이 설명됨. 1/(a - 1)을 b로 정의하여 y의 형태를 정리하는 과정이 포함됨. |
| 05:33 | x와 y의 지수 비교에서 발생하는 다양한 경우의 수를 탐구하는 과정이 설명됨. |
| 06:00 | x의 y제곱과 y의 x제곱의 관계에서 e로 수렴하는 성질이 강조됨. 이로 인해 교점 좌표가 특정 값으로 수렴함을 설명함. |
| 06:33 | b의 값에 따라 x와 y의 관계가 변화하는 예시가 제시됨. b가 2일 때 x는 9/4가 되고, 이와 관련된 유리수 해가 도출됨. |
| 07:35 | 영상의 내용이 유익하다는 점이 강조되며, 수학에 대한 흥미를 유도하는 메시지가 포함됨. |
2. 스크립트
8이랑 9는 오른쪽이 더 크죠. 밑이 33의 제곱과 33의 22제곱을 비교하면 22제곱이 더 클까요? 그렇지 않습니다. 훨씬 큽니다.왼쪽은 22의 세제곱과 33의 제곱의 11승으로 쓸 수 있습니다. 어디가 더 큰지 중요한 것일 텐데요. 그리고 2가 세 번 있어서 8, 33을 두 번 있어서 9, 이렇게 두 수를 꼴이라 왼쪽이 더 크죠.
일반적으로 x는 어떨까요? 보통은 지수가 큰 것이 훨씬 더 크고요. x가 큰 수라면 y의 x제곱이 더 크다는 것도 어렵지 않습니다. 파이썬으로 주는데요, 코딩을 잘 못해도 요즘은 해 줍니다.
x의 y제곱과 y의 x제곱 색깔 값이 초록색이면 x의 y제곱이 초록색이고, x가 큰 영역에서는 크다는 의미입니다. 참고로 이 등고선은 두 수를 비교하기 위해서 x^y / y^x 두 수의 비율을 로그를 취한 것입니다. 1보다 더 커서 전체 값이 0보다 더 작으면 로그 안의 값이 1보다 작아서 라인이 분자와 분모가 같은 라인이고, 더 큰 부분, 플러스 부분이 분자가 더 있습니다.
요쯤 있죠, 초록색 영역입니다. 0보다 크기 때문에 그런데, 여러분 처음 얘기했던 2의 세제곱이 지수 부분이 더 큰데, 3의 얘기했던 지수가 더 크면 더 크다라는 축, y축 모두 1부터 100까지 보시면 x축과 y축에 딱 붙어 있는 영역에서는 초록색과 빨간색이 반대가 아래에 있죠. 이 라인 아래에서는 색깔이 그러면 x축과 y축을 로그로 바꿔 주면 스케일로 바꾼 그래프입니다.
1부터 있죠. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 간격이 아닙니다. (2, 3)이 여기 있고요, x의 y제곱이 더 큰 영역이었습니다.
그래서 지수가 항상 성립하는 건 아니고 x나 y가 정도 이해하면 좋겠죠. 그리고 이 등고선, 이 라인을 보면 y = x, 수가 같아지는 라인이에요. 예를 들어서 반대쪽에 (4, 2)도 있습니다.
2에 수가 되죠. 여기 이 교점 좌표는 어떻게 2와 3 사이에 있는 값인데, 3에 3 사이에 자주 나오는 숫자 하나 e가 아닐까 의심이 됩니다. 정답이 생각해 볼까요? 영상 멈추시고 잠깐 자.
y의 x제곱이 하고 y를 어떤 ax라고 가정해 놓습니다. 그럼 y 대신에 ax가 되고요, x가 0이 아니라고 하면 뒤에 같다라는 식이 성립할 거고요. 1/x을 곱해주면 이렇게 됩니다.
나타낼 수 있습니다. 여기 1/(a - 1)를 b라고 정의해 보겠습니다. 그러면 정리하면 나타낼 수 있고요, y는 거기에 B 어떤 값이 되더라도 x의 y제곱은 y의 거죠.
근데 이 형태, 어디서 많이 봤죠? 갈 때 1 + (1/n)의 n승이죠. 그래서 이 e로 수렴할 것이고요, y도 마찬가지로 e로 수렴합니다. 그래서 이 라인이 아닌 곳에서 쭉 b가 e로 가죠.
그래서 그 교점 좌표가 넣어보면, 가 1일 때 x = 2, y = 4가 됩니다. 2의 네제곱이 4의 제곱과 어떤 유리수 해가 하나 나옵니다. b가 2일 때 x는 9/4가 나오고요, 9/4의 27/8 같다는 식을 얻을 수 있죠.
b가 3일 때 2.25의 수가 나오고 3.375의 2.25가 나오죠. 외관상 전혀 같을 이유가 궁금증이 꼬리에 꼬리를 물고 계속해서 더 많은 부분을 이해할 수 있습니다. 오늘 영상 유익하셨다면 꼭 시간을 내어 또 재밌는 수학 얘기로 돌아오겠습니다.
감사합니다..
3. 영상정보
- 채널명: 12 Math
- 팔로워 수: 242,000
- 좋아요 수: 944
- 조회수: 34,999
- 업로드 날짜: 2025-01-29
- 영상 길이: 8분 4초
- 다시보기: https://www.youtube.com/watch?v=vaHMWKtKPfs
