1. "가마"가 있을 수 밖에 없는 충격적인 이유?!
한줄요약: Hairy Ball Theorem의 원리와 증명
| 시간 | 요약 |
|---|---|
| 00:00 | 헤어리 볼은 털이 난 3차원 공으로, Hairy Ball Theorem은 이 공의 표면에서 연속적인 벡터장이 반드시 0 벡터인 점이 존재해야 함을 설명함. 이는 벡터의 방향이 불연속적으로 변할 수 없음을 의미함. |
| 01:33 | 벡터장이 연속할 때, 특정 방향으로 바람이 불면, 그 방향에 따라 벡터의 방향이 달라짐. 이때, 0 벡터가 존재하지 않으면 모순이 발생함을 보여줌. |
| 04:03 | 연속성의 개념은 벡터들이 일정한 오차 범위 내에서 차이를 보일 때 성립함. 벡터들이 한 바퀴를 돌며 원래 자리로 돌아오는 경우, 와인딩 넘버가 정의됨. |
| 05:02 | 와인딩 넘버는 정수로만 표현될 수 있으며, 소수점 자릿수를 가질 수 없음. 이는 벡터장이 연속적으로 변화할 때 0 벡터가 존재하지 않음을 의미함. |
| 07:00 | 벡터장이 북쪽으로 향할 때, 그림자가 생기며, 이는 벡터 방향의 연속성을 나타냄. 반대로, 동쪽으로 향하는 벡터는 빙글빙글 도는 모습을 보임. |
| 08:02 | 벡터장이 연속적으로 변화할 때, 0 벡터가 존재하지 않으면 모순이 발생함을 설명함. 이는 Hairy Ball Theorem의 증명 과정에서 중요한 요소임. |
| 10:32 | Hairy Ball Theorem은 수학적 원리로, 벡터장이 연속할 때 0 벡터가 반드시 존재해야 함을 강조함. 이는 수학적 사고의 중요한 부분임. |
2. 스크립트
헤어리 볼이면 털이 난 공이죠. 3차원 공을 생각해 보세요. 이 털을 빗으로 빗긴다고 할 때, 제일 위에 북극점을 예로 들면, 털이 평면을 기준으로 봤을 때 그 평면에서 털을 다 빗기고 나면, Hairy Ball Theorem이 하는 얘기입니다. 오른쪽 방향이 갑자기 변하는 불연속한 중심으로 보면, 왼쪽은 왼쪽으로 가고, 가마라는 점에서 머리카락의 방향이 바람이 불죠. 동서남북, 어떤 방향으로든 바람이 불기 마련입니다. 위아래 방향은 바람의 방향을 재본다고 할 때, 이 털 없는 점이 적어도 하나는 존재해야 합니다.표현해 보면, 3차원 구 표면 위에 벡터가 되는 점이 반드시 존재한다고 생각할 수 있습니다. 이는 당연한 얘기처럼 느껴질 수도 있지만, 이상이 성립하지 않습니다. 3차원 구 표면에서 벡터장을 생각할 수 있고, 해도 0 벡터인 점이 항상 존재합니다. 원주 위에서 이런 식으로 탄젠트 벡터가 아닌 경우도 있습니다. 같은 3차원 상에서도 연속하면서 0 벡터인 점이 없을 수 있습니다. 빙글빙글 돌아가는 벡터장을 회전하면서 벡터가 아닌 연속한 탄젠트 벡터장이 항상 0 벡터인 점이 사실 아주 자명한 명제는 아닙니다.
자체는 2차원이잖아요, 평면이니까요. 성립하는 명제가 됩니다. 증명하는 것도 한 게 아니라면, 엄밀한 증명을 전공하지 않더라도 왜 그런지에 대해 설명해 드리려고 합니다.. 연속한다는 의미에 대해서 한번 생각해 보세요. 연속한다고 했을 때, 연속한다는 의미는 돋보기로 들여다보면 다 한 돋보기로 들여다봤는데, 오른쪽으로 가는 벡터들이 다 천차만별이라면, 클로즈업해서 더 들여다보면 모습을 관찰할 수 있습니다. 제가 입실론에 대한 얘기를 했었죠.
어떤 오차 수준 안쪽으로 차이가 있으면 연속한다는 의미입니다. 알고 시작해야 되는데요, 어렵지 않습니다. 위에서 벡터들이 정의되어 있다고 가정하고, 이 벡터들이 어떻게 돌고 돌아오면 원래 시작한 벡터로 바퀴를 돌면서 이 벡터의 방향이 몇 번 바뀌는지를 생각해 보세요. 물론 이 위에 벡터들이 모두 0 벡터가 아니라는 가정을 하고, 한 바퀴를 돌았는지, 와인딩 넘버라고 정의를 해보겠습니다. 벡터가 다 계속 그 자리에 유지하고 있기 때문에 한 바퀴도 안 돌죠. 예시에서는 원래 자리로 한 바퀴를 돌게 됩니다.
와인딩 넘버가 1인 것이죠.. 이제 원을 반바퀴 돌 동안 벡터는 또 한 바퀴를 돌게 되며, 와인딩 넘버가 2가 됩니다. 이게 넘버 얘기하기 전에 벡터장이 국소적으로 보면 모두 한 방향으로 가고 있으니까, 그 주변을 한 바퀴 돌았을 때 0 벡터가 없다는 가정을 하면요, 늘려 봅시다. 조금 더 늘려도 여전히 0을 유지하게 됩니다. 더 크게 늘려도 왜냐하면 와인딩 넘버라고 하는 건 정수로만 감을 수밖에 없거든요. 와인딩 넘버가 1.5, 2.5 이런 건 돌아오기 때문에 한 바퀴냐 두 바퀴냐에 따라 달라집니다.
그런데 이 국소적으로 연속적으로 넓혀 나가다 보면 와인딩 넘버가 없게 됩니다. 와인딩 넘버는 소수점 자릿수를 가질 수 없는 정수이기 때문에, 불연속한 점이 있을 수밖에 없습니다. 조금씩 조금씩 늘려 나가면 당연히 없겠죠. 그래서 와인딩 넘버는 항상 조건만 만족하면 0 벡터를 지나지 않습니다.
여기서 와인딩 넘버가 바뀔 수는 있지만 변하지 않는다는 사실을 이해할 수 있습니다. 그러면 와인딩 넘버가 0이 아닐 때, 연속한 2차원 벡터장인데 내부에 0이 있다고 얘기할 수 있는 것입니다.. 자, 그리고 나서 우리 Hairy Ball Theorem으로 다시 돌아가 봅시다.
구에 0 벡터인 점이 있다는 것이 왜 참인지 생각해 보세요. 북반구와 남반구를 이렇게 잘라볼게요. 애초에 구 표면상에 탄젠트가 나눠질 겁니다.
예를 들어서 위로 북쪽으로 향하는 벡터장이 연속하면, 다 북쪽으로 향하는 벡터장이 되어 바닥에 그림자를 보게 됩니다. 벡터 방향을 보면 북반구에서는 다 들어오는 그림이고, 남반구에서는 방향으로 가고 있으니까 바깥쪽을 그림을 얻을 수 있겠죠. 또 다른 예로 동쪽으로 계속 향하고 있는 벡터들이 북반구를 잘라서 프로젝션 시켜버리면, 빙글빙글 돌고 있는 벡터장의 모습이 됩니다.
이 그림을 보시면 도움이 될 것입니다. 실선을 북반구 벡터라고 생각하고 들어왔다가 반사되는 벡터를 생각하면, 가는 방향은 반대 방향으로 뒤집어지고 똑같이 나오게 됩니다. 이런 성질을 한번 생각해 보세요.
Hairy Ball Theorem의 명제를 다시 벡터장이 연속하는 0 벡터인 점이 증명하기 위해서 결론을 한번 부정해 보세요. 그리고 모순이 나오는지 한번 확인해 보세요. 구 표면에 없고, 탄젠트 벡터장이 내부에 0 벡터가 없으면, 물론 여기에 이제 심플리 연속적으로 한 점으로 축약할 수 있습니다.
자, 그럼 와인딩 넘버가 북반구를 잘라서 그걸 바닥에 북반구 그림에서 적도를 따라서 쭉 없애면, 그렇겠죠? 와인딩 넘버가 0이 있어야 하니까요. 따라서 변하지 않는 벡터 그림 같은 것을 우리가 생각할 수 있습니다. 상상할 수 있는 것과는 다르게 생겼을 수 있습니다.
그런데 돌아간다는 것입니다.. 벡터가요. 자, 그럼 이게 어떻게 될지를 한번 그려 봅시다.
자, 남반구에서는 이런 실선 그림이 나와야 형태로 매칭이 돼야겠죠. 그런데 이 적도를 따라서 반 바퀴 돌면 또 나머지 반 바퀴를 돌면 실선 넘버가 2가 되죠. 남반구의 와인딩 예시에 대해서 특별히 2가 나왔지만, 그런지에 대해서는 조금 생각해 보세요.
그런데 남반구의 와인딩 넘버도 북반구처럼 남반구 안에 0 벡터가 있다는 거죠. 했으니까 한편으로 생각해 보면 0이었다. 여기서 모순이 나오죠.
똑같은 모순을 발견했습니다. 우리 가정이 0 벡터인 점이 없다고 가정한 것이 탄젠트 벡터장이 연속하는 0 벡터인 점이 반드시 있다는 것입니다. 이게 바로 Hairy Ball Theorem이 하는 얘기입니다.
오늘 부탁드리고요, 다음에 또 재밌는 수학 얘기로 돌아오겠습니다. 감사합니다..
3. 영상정보
- 채널명: 12 Math
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- 업로드 날짜: 2024-11-03
- 영상 길이: 10분 53초
- 다시보기: https://www.youtube.com/watch?v=Y6Q1oqnwS1w
