1. 너무 아름다워서 목놓아 울었습니다...
한줄요약: IMO 국제수학 올림피아드 문제 풀이
| 시간 | 요약 |
|---|---|
| 00:02 | 문제 풀이를 통해 1979로 나누어짐을 보임. |
| 00:18 | 계산이 아닌 조작이 필요한 문제임을 강조함. |
| 00:34 | 짝수 항을 오른쪽으로 옮기는 방식으로 정리함. |
| 01:48 | K 값을 설정하고 통분하는 과정 설명함. |
| 02:35 | 연속된 변화를 이용해 문제를 접근함. |
| 03:17 | 다음 문제를 예고하며 마무리함. |
| 04:32 | 분모가 특정 소수로 나누어지지 않음을 추론함. |
| 05:02 | 1979년 문제로, 소수와 관련된 내용 포함됨. |
| 05:21 | 예시를 통해 작은 수로 설명하는 방식 사용함. |
| 06:04 | 최대 공약수를 나누어 기약 분수를 만드는 방법 설명함. |
| 06:33 | 19979 소인수를 가지고 있지 않음을 강조함. |
2. 스크립트
네, 수취남입니다. 이번에는 IMO 국제수학 올림피아드 문제 한 문제를 풀어보도록 하겠습니다.2.1. 문제 풀이를 통해 1979로 나누어짐을 보임.
문제를 풀어보시죠. 자, 분식의 P는 1 - 2분의 1 더하기 땡땡땡땡 해서 1319까지라고 돼 있습니다. 이 분자가 199로 나누어지면 보이시오. 이게 1979년도에 출제가 돼서 이렇게 해 놓은 것 같고요.
2.2. 계산이 아닌 조작이 필요한 문제임을 강조함.
참고로 여기서 1979년은 소수입니다. 같이 한번 풀어보시죠.
2.3. 짝수 항을 오른쪽으로 옮기는 방식으로 정리함.
일단은 이거 계산하라는 문제는 절대 아니겠죠? 그래서 뭔가 조작을 해줘야 하는데요. 이 마이너스 플러스 마이너스 플러스 이렇게 되는 게 조금 불편해서 이거를 좀 조작해 볼게요. 2q, p 자, 똑같이 쓴 건데요. 여기서 짝수 항들을 오른쪽으로 좀 옮길 거예요. 이 -1 이런 애들을 빼서 이쪽으로 옮기고 -4도 빼서 옮기고, 이런 식으로 이제 정리를 해 보면 남는 게 1 + 1, 1 그러니까 홀수만 남고 1, 3, 1, 9까지 가겠죠. 그다음에 여기서 이제 뒤에 있는 거 옮긴 거 -12, 땡땡땡땡 가서 131지도국, 그 이전 생들을 다 빼줘야겠죠. 그래서 -1, 1, 1 가서 1, 3, 1, 8, 1까지 있습니다. 근데 아까 전에 보면 위에서 -1하고 -4, 땡땡땡 이거는 원래 있던 놈인데 공교롭게도 뒤에 있는 거랑 숫자가 똑같죠? 그래서 곱하기 2를 해주면 되겠죠.
자, 다음에 이 2를 하나씩 다 곱할 겁니다. 그러면 다시 적어볼게요. 1 + 2의 1, 3, 땡땡땡, 1, 3, 1 빼기, 곱하기 1 + 1 + 1, 땡땡땡, 600, 59 이렇게 나오겠죠. 그러면 둘 다 연속되게 이제 변하고 있으니까, 앞에 있는 수에서 뒤에 있는 걸 이제 빼주면 중간에 허리가 끊기겠구나, 다 잘라주면 돼요. 그러면 이제 다시 적으면 660, 661, 딱딱딱 가서 1, 3, 1, 1, 3, 1, 9 뭐 이런 식으로 적겠죠. 자, 그런데 여기서 좀 특징이 연속되게 다 변하고 있죠.
이거는 1씩 더하고 있고, 이거는 1씩 빼지는 거죠. 이렇게 가면은 그러면 제일 첫 번째 항하고 제일 마지막에 있는 항에서 이제 분모를 보자면 660과 1, 39를 보자면, 더하면 1, 79가 나와요. 그런데 이 두 개 분모를 더해도 1, 79가 나오거든요. 그다음에 뭐 세 번째도 79가 나오겠죠.
2.4. K 값을 설정하고 통분하는 과정 설명함.
그래서 이런 특징을 조금 이용하고자 가에 있는 한길이 묶을 겁니다. 그래서 1660, 1319 + 160, 1, 318 쭉쭉 가다가 이제 중간쯤 오면은 이거 분모 두 개의 합이 1, 31, 9고 나누기 2를 해주면 989.torrent를 이용해서 조금 표현을 해보겠습니다. s_n 시그마 이쪽에 1분 더하고 그 분모 두 개의 합이 1, 7, 9니 199, 79에서 빼기 K 해주면 되겠죠. 그 K는 660, 1이 아닙니다. 여기 660, 어디까지? 99까지라고 해주면 돼요. 그리고 이거를 또 예쁘게 정리를 해보면 통분해 줍니다. 그 곱하기 199, 79 - K. 그럼 분자는 남는 게 19, 79 - k + k 이렇게 나오거든요.
그러면 kk가 날아가니까 남는 게 다시 K, 1, 79 - K, 199, 79, K, 66부터 989까지. 그러면 드디어 분자의 199, 79가 있는 거죠.
2.5. 연속된 변화를 이용해 문제를 접근함.
그래서 뭔가 희망의 가닥이 좀 보입니다. 그 다시 좀 예쁘게 쓸게요. 199, 79를 앞으로 빼주고 시그마 k * 979 - K 1 이렇게 쓸 수 있습니다. 그러면 이쪽에 다시 볼게요. 자, 이거는 분수들 다 더한 거죠. 그러면 이거는 b, a 기약 분수꼴로 표현이 될 수 있습니다. 그리고 왠지 이 분모는 19, 79로 나누어지지 않을 것 같아요. 왜냐면 아까 이거를 조금 보건을 해보면 680, 1, 319 + 681, 318, 땡땡땡 이렇게 가는 거거든요.
2.6. 다음 문제를 예고하며 마무리함.
그래서 이쪽에서 분모를 보자면 680, 1, 319, 681, 1 등등 하는데 이게 19, 79는 절대 안 돼요. 이 분모가 더군다나 그리고 19, 79가 소수죠. 그래서 왠지 안 될 것 같다라고 추론할 수 있습니다. 구체적인 거는 제가 예시를 들어서 좀 수가 덩치가 너무 크니까 작은 걸로 좀 보여줄게요. 예시 2 * + 3 * + 4 * 17 + 5 * 1. 자, 이거를 다르게 했으면 시그마 k 2부터 5까지 k * 11 - K 이렇게 쓸 수 있는 거죠.
아까랑 똑같아요. 근데 숫자가 좀 많이 작아진 거죠. 이것 역시도 기약 분수꼴로 a 이렇게 표현할 수 있겠죠.
a, b 서로소. 그런데 이제 보이고자 하는 거는 11로 나눠지지 않는다는 걸 볼 거예요.
2.7. 분모가 특정 소수로 나누어지지 않음을 추론함.
그럼 봤을 때 이게 생으로 진짜 계산을 한다고 치면 통분을 해보면 2, 3, 4, 5. 그러니까 이쪽에 왼쪽에 있는 숫자들을 다 쓰고 그다음에 6, 7, 8, 9 이렇게 써주면 되겠죠. 6, 7, 8, 9 뭐 하고 위에 숫자가 있겠죠.
2.8. 1979년 문제로, 소수와 관련된 내용 포함됨.
좀 덩치가 크겠죠. 자, 그런데 이거는 기약 분수인지는 몰라요.
2.9. 예시를 통해 작은 수로 설명하는 방식 사용함.
여기서 축소가 되면 더 축소가 됐지 이 분모에 어떤 자연수를 곱하지 않겠죠. 그럼 우리가 이제 기약 분수로 만들려고 하면 분모 분자의 최대 공약수를 나눠주면 되겠죠. 그러면 기약 분수가 나오겠죠. 그런데 이제 이 분모의 소인수 중에서 11이 없으니까 아예 태생부터가 11을 가지고 있지 않으니까 약분을 하더라도 소수 11이 나올 수가 없습니다.
그래서 이쪽에 이 비는 소인수 11을 가지고 있지 않아요..
2.10. 최대 공약수를 나누어 기약 분수를 만드는 방법 설명함.
다라고 말할 수 있는 거죠. 그래서 이 비슷한 맥락으로 여기 있는 이 B 역시도 19979라는 소인수를 가지고 있지 않다고 말할 수 있는 거죠. 그러면 이제 다시 적으면 979 * a 이렇게 적을 수 있고요.
2.11. 19979 소인수를 가지고 있지 않음을 강조함.
그다음에 단 B는 19979로 나누어지지 않는다 이렇게 적을 수 있습니다. 그래서 분자는 이거죠, 19979 * a. 이 분자는 1979라는 놈을 무조건 가지고 있으므로 19979로 나누어짐을 보일 수 있게 된 셈입니다. 자, 오늘은 국제 올림피아드 문제 한 문제 풀어봤습니다.
자, 다음에도 재밌는 문제로 찾아오겠습니다. [음악] 끝..
3. 영상정보
- 채널명: Cook the math
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- 업로드 날짜: 2025-02-13
- 영상 길이: 7분 30초
- 다시보기: https://www.youtube.com/watch?v=pja8PDnKJbs
